本文为 Python 60 Days Challenge 课程学习整理,原作者与原 Notebook 链接见「课程资料」。代码按章节顺序运行;语法示意和故意报错的反例已单独标注。

数据准备: 将课程仓库中的 data.csv/data.xlsx 放在 Notebook 的当前工作目录,路径已移除原作者电脑的盘符。读取 Excel 需要 openpyxl。各节额外依赖按文中安装说明准备。

文中保留的截图、性能表和数值属于原讲义的历史示例,不是本次修订后的重新训练结果。实际输出受数据、版本、随机种子和训练预算影响。

本次校订: 标准 sklearn t-SNE 没有面向未见样本的 transform。两次独立拟合得到的坐标系不一致,不能一边训练分类器、一边在另一个坐标系测试;本节已改为只画训练集 t-SNE,可泛化分类使用 PCA/LDA。

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课程资料

学习内容

常见的降维算法

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from sklearn.base import clone
from sklearn.compose import ColumnTransformer, make_column_selector
from sklearn.impute import SimpleImputer
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
from sklearn.model_selection import train_test_split, cross_val_score, cross_validate
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix, precision_score, recall_score

data = pd.read_csv('data.csv').drop(columns=['Id'], errors='ignore')
# 标签不能作为特征或用填补器补造;这里只排除缺失标签的记录。
data = data.dropna(subset=['Credit Default'])
preprocessor = ColumnTransformer([
    ('numeric', SimpleImputer(strategy='median', keep_empty_features=True),
     make_column_selector(dtype_include=np.number)),
    ('categorical', Pipeline([
        ('imputer', SimpleImputer(strategy='most_frequent', keep_empty_features=True)),
        ('onehot', OneHotEncoder(handle_unknown='ignore', sparse_output=False))]),
     make_column_selector(dtype_exclude=np.number))
])

def make_classifier(model):
    # 把填补和编码放进模型流水线,每个交叉验证折只在本折训练数据上拟合。
    return Pipeline([('preprocess', clone(preprocessor)), ('model', model)])

目前有31个特征,我们看看降维后的特征个数是多少?

特征降维

通常情况下,我们提到特征降维,很多时候默认指的是无监督降维,这种方法只需要特征数据本身。但是实际上还包含一种有监督的方法

  1. 无监督降维 (Unsupervised Dimensionality Reduction)

    • 定义:这类算法在降维过程中不使用任何关于数据样本的标签信息(比如类别标签、目标值等)。它们仅仅根据数据点本身的分布、方差、相关性、局部结构等特性来寻找低维表示。

    • 输入:只有特征矩阵 X。

    • 目标:

      • 保留数据中尽可能多的方差(如 PCA)。
      • 保留数据的局部或全局流形结构(如 LLE, Isomap, t-SNE, UMAP)。
      • 找到能够有效重构原始数据的紧凑表示(如 Autoencoder)。
      • 找到统计上独立的成分(如 ICA)。
    • 典型算法:

      • PCA (Principal Component Analysis) / SVD (Singular Value Decomposition)
      • t-SNE (t-distributed Stochastic Neighbor Embedding)
      • UMAP (Uniform Manifold Approximation and Projection)
      • LLE (Locally Linear Embedding)
      • Isomap (Isometric Mapping)
      • Autoencoders (基本形式)
      • ICA (Independent Component Analysis)
    • “只需要特征就可以对特征降维了” :你这句话描述的就是无监督降维。算法通过分析特征间的关系和分布来进行降维。

  2. 有监督降维 (Supervised Dimensionality Reduction)

    • 定义:这类算法在降维过程中会利用数据样本的标签信息(通常是类别标签 y)。它们的目标是找到一个低维子空间,在这个子空间中,不同类别的数据点能够被更好地分离开,或者说,这个低维表示更有利于后续的分类(或回归)任务。

    • 输入:特征矩阵 X​ 和 对应的标签向量 y。

    • 目标:

      • 最大化不同类别之间的可分性,同时最小化同一类别内部的离散度(如 LDA)。
      • 找到对预测目标变量 y 最有信息量的特征组合。
    • 典型算法:

      • LDA (Linear Discriminant Analysis) :这是最经典的监督降维算法。它寻找的投影方向能够最大化类间散度与类内散度之比。
      • 还有一些其他的,比如 NCA (Neighbourhood Components Analysis),但 LDA 是最主要的代表。
    • “还需要有分类标签么” :是的,对于有监督降维,分类标签(或其他形式的监督信号)是必需的。

核心差异总结:

特性 无监督降维 (Unsupervised DR) 有监督降维 (Supervised DR)
是否使用标签 否 (只使用特征 X) 是 (使用特征 X​ 和标签 y)
主要目的 保留数据固有结构、方差、可视化等 提高后续监督学习任务(如分类)的性能
关注点 数据本身的内在属性 数据类别间的可分性/与目标变量的相关性
典型例子 PCA, SVD, t-SNE, UMAP, Autoencoder LDA

举个例子来说明:

  • PCA (无监督) :如果你有一堆人脸图片,PCA会尝试找到那些能最好地概括所有人脸变化的“主脸”(特征向量),比如脸型、鼻子大小等,它不关心这些人脸属于谁。
  • LDA (有监督) :如果你有一堆人脸图片,并且你知道每张图片属于哪个人(标签)。LDA会尝试找到那些能最好地区分不同人的人脸特征组合。比如,如果A和B的脸型很像,但眼睛差别很大,LDA可能会更强调眼睛的特征,即使脸型方差更大。PCA是利用最大化方差来实现无监督降维,而LDA则是在此基础上,加入了类别信息,其优化目标就变成了类间差异最大化和类内差异最小化。

PCA等无监督降维方法的目标是保留数据的最大方差,这些方差大的方向不一定是对分类最有用的方向。因此,在分类任务中,LDA通常比PCA更直接有效。

from sklearn.model_selection import train_test_split
X = data.drop(['Credit Default'], axis=1)  # 特征,axis=1表示按列删除
y = data['Credit Default'] # 标签
X = data.drop(columns=['Credit Default'])
y = data['Credit Default']
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X, y, test_size=0.2, random_state=42, stratify=y)
# 本节不做交叉验证;预处理器仅在训练集拟合。
X_train_raw, X_test_raw = X_train.copy(), X_test.copy()
train_array = preprocessor.fit_transform(X_train_raw)
names = preprocessor.get_feature_names_out()
X_train = pd.DataFrame(train_array, columns=names, index=X_train_raw.index)
X_test = pd.DataFrame(preprocessor.transform(X_test_raw), columns=names, index=X_test_raw.index)

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier #随机森林分类器

from sklearn.metrics import accuracy_score, precision_score, recall_score, f1_score # 用于评估分类器性能的指标
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix #用于生成分类报告和混淆矩阵
import warnings #用于忽略警告信息
# 保留警告,便于发现弃用接口和数值问题。 # 忽略所有警告信息
# --- 1. 默认参数的随机森林 ---
# 评估基准模型,这里确实不需要验证集
print("--- 1. 默认参数随机森林 (训练集 -> 测试集) ---")
import time # 这里介绍一个新的库,time库,主要用于时间相关的操作,因为调参需要很长时间,记录下会帮助后人知道大概的时长
start_time = time.time() # 记录开始时间
rf_model = RandomForestClassifier(random_state=42)
rf_model.fit(X_train, y_train) # 在训练集上训练
rf_pred = rf_model.predict(X_test) # 在测试集上预测
end_time = time.time() # 记录结束时间

print(f"训练与预测耗时: {end_time - start_time:.4f} 秒")
print("\n默认随机森林 在测试集上的分类报告:")
print(classification_report(y_test, rf_pred))
print("默认随机森林 在测试集上的混淆矩阵:")
print(confusion_matrix(y_test, rf_pred))
# # umap-learn 是一个用于降维和可视化的库,特别适合处理高维数据。它使用了一种基于流形学习的算法,可以有效地将高维数据嵌入到低维空间中,同时保持数据的局部结构。
# !pip install umap-learn -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
# 确保这些库已导入,你的原始代码中可能已经包含了部分
import time
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler # 特征缩放
from sklearn.decomposition import PCA # 主成分分析
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis as LDA # 线性判别分析
# UMAP 需要单独安装: pip install umap-learn
import umap # 如果安装了 umap-learn,可以这样导入

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix

# 你的 X_train, X_test, y_train, y_test 应该已经根据你的代码准备好了
# 我们假设你的随机森林模型参数与基准模型一致,以便比较降维效果
# rf_params = {'random_state': 42} # 如果你的基准模型有其他参数,也在这里定义
# 为了直接比较,我们使用默认的 RandomForestClassifier 参数,除了 random_state

主成分分析 (PCA)

在昨天的专题中已经理解了SVD(奇异值分解),那么理解PCA(主成分分析)就会非常直接。实际上,PCA可以被看作是将SVD应用于经过均值中心化的数据矩阵,并对其结果进行特定解释的一种方法。

PCA:寻找最大方差方向

主成分分析 (PCA) 的核心思想是识别数据中方差最大的方向(即主成分)。然后,它将数据投影到由这些最重要的主成分构成的新的、维度更低子空间上。这样做的目的是在降低数据维度的同时,尽可能多地保留原始数据中的“信息”(通过方差来衡量)。新的特征(主成分)是原始特征的线性组合,并且它们之间是正交的(不相关)。

PCA 与 SVD 的关系

假设你的数据矩阵是 X(行是样本,列是特征)。

  1. 步骤 0:均值中心化 (对PCA的解释至关重要)

    • 对于 X 中的每一个特征(列),计算其均值。
    • 从该特征列的所有值中减去这个均值。我们将这个经过均值中心化处理的矩阵称为 X_centered。
    • 为什么要做这一步? PCA的目标是找到围绕数据均值的最大方差方向。SVD本身不强制要求均值中心化,但为了将其分解结果解释为PCA的主成分,这一步是必需的。
  2. 步骤 1:对均值中心化后的数据应用 SVD

    • 对 X_centered 进行奇异值分解:
      $X_centered = U * S * V^T$

    • 其中:

      • ​U:左奇异向量矩阵(列向量相互正交)。它的列是 $X_centered * X_centered^T$ 的特征向量。
      • ​S​:奇异值矩阵(一个对角矩阵,对角线上的奇异值 s_i​ 是非负实数,并按降序排列)。这些 s_i 是 $X_centered^T * X_centered$ 和 $X_centered * X_centered^T$ 的特征值的平方根。
      • ​V:右奇异向量矩阵(列向量相互正交)。它的列是 $X_centered^T * X_centered$ 的特征向量。​V​​ 的这些列向量就是主成分方向。
  3. 步骤 2:在 PCA 的语境下理解SVD的各个组成部分

    • 主成分方向 (Principal Component Directions / Loadings): V​ 矩阵的列向量(即右奇异向量)就是主成分 (PCs)。V 的第一列是第一主成分(方差最大的方向),第二列是第二主成分(方差次大且与第一主成分正交的方向),以此类推。这些向量告诉你原始特征是如何线性组合形成各个主成分的。
    • 解释的方差 (Variance Explained): S​ 矩阵中的奇异值与每个对应主成分所能解释的方差量直接相关。具体来说,第 i 个主成分解释的方差是 $(s_i^2) / (n-1)$(其中 s_i​ 是 S​ 中的第 i 个奇异值,n​ 是样本数量)。更常见的是看解释方差的比例:$(s_i^2) / sum(所有 s_j^2)$。
    • 主成分得分 (Principal Component Scores / Transformed Data): 如果你想将均值中心化后的数据投影到主成分上(即获得在降维后的空间中的新坐标),你可以计算:
      $X_projected = X_centered * V$
      根据SVD的公式,这等价于:
      $X_projected = (U * S * V^T) * V = U * S * (V^T * V) = U * S * I = U * S$
      所以,矩阵 U * S​ 给了你每个数据点在新的主成分轴上的“得分”。
      如果想将数据降至 k​ 维,你会取 V​ 的前 k​ 列(记作 V_k​),U​ 的前 k​ 列和 S​ 的左上角 k x k​ 部分(记作 U_k​ 和 S_k)。
      降维后的数据就是 $X_reduced = X_centered * V_k = U_k * S_k$。

PCA 何时适用?数据是线性还是非线性?

  • 线性性:

    • PCA 是一种线性降维方法。它假设主成分是原始特征的线性组合。
    • 它寻找的是一个能够最好地捕捉数据方差的线性子空间。
    • 如果你的数据的潜在结构是高度非线性的(例如,“瑞士卷”形状、螺旋形),PCA可能无法有效地在低维空间中捕捉这种结构。它可能会将这类结构“压平”或扭曲。
  • PCA 效果好的情况:

    • 目标是最大化方差: 当你认为数据中方差最大的方向包含了最重要的信息时。这在去噪或特征间存在相关性时通常是成立的。
    • 数据分布大致呈椭球形或存在线性相关性: PCA 擅长找到这类分布的主轴。
    • 作为其他线性模型的预处理步骤: 不相关的主成分有时能让线性模型(如逻辑回归、线性SVM)表现更好。
    • 探索性数据分析 (EDA) : 快速了解数据变异的主要模式。
    • 降噪: 假设噪声的方差低于信号的方差,PCA可以通过舍弃低方差的成分来帮助降噪。
    • 当原始特征数量非常多,且存在多重共线性时:PCA可以通过生成少数几个不相关的主成分来解决多重共线性问题,并减少特征数量。
  • PCA 可能不适用或需要谨慎使用的情况:

    • 高度非线性数据: 对于分布在复杂流形上的数据(例如“瑞士卷”、“S型曲线”),PCA会将其投影到一个线性子空间,这可能会丢失关键的非线性关系。在这种情况下,非线性降维技术(如 t-SNE, UMAP, LLE, Isomap, 核PCA, 自编码器)会是更好的选择。
    • 方差并非衡量重要性的唯一标准: 有时,方差较小的方向可能对特定任务至关重要(例如,在分类问题中,如果使用LDA,一个整体方差较小的方向可能对区分类别非常有效)。PCA是无监督的,它不考虑类别标签。
    • 主成分的可解释性: 虽然主成分是原始特征的线性组合,但与保留原始、可解释的特征相比,它们的直接物理解释有时可能更具挑战性。
    • 数据特征尺度差异巨大: 如果特征的尺度(单位或数值范围)相差悬殊(例如,一个特征以米为单位,另一个以毫米为单位),那么尺度较大的特征将在方差计算中占据主导地位,从而主导第一主成分。这就是为什么在应用PCA之前几乎总是推荐进行数据标准化(例如,将特征缩放到均值为0,方差为1) 。

总而言之,可以将PCA视为:

  1. 对数据进行均值中心化。
  2. 对中心化后的数据进行SVD。
  3. 使用SVD得到的右奇异向量 V 作为主成分方向。
  4. 使用奇异值 S 来评估每个主成分的重要性(解释的方差)。
  5. 使用 U*S​(或 X_centered * V)来获得降维后的数据表示。

PCA主要适用于那些你认为最重要的信息可以通过数据方差来捕获,并且数据结构主要是线性的情况。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix
import time
import numpy as np # 确保numpy导入

# 假设 X_train, X_test, y_train, y_test 已经准备好了

print(f"\n--- 2. PCA 降维 + 随机森林 (不使用 Pipeline) ---")


# 步骤 1: 特征缩放
scaler_pca = StandardScaler()
X_train_scaled_pca = scaler_pca.fit_transform(X_train)
X_test_scaled_pca = scaler_pca.transform(X_test) # 使用在训练集上fit的scaler

# 步骤 2: PCA降维
# 选择降到10维,或者你可以根据解释方差来选择,例如:
pca_expl = PCA(random_state=42)
pca_expl.fit(X_train_scaled_pca)
cumsum_variance = np.cumsum(pca_expl.explained_variance_ratio_)
n_components_to_keep_95_var = np.argmax(cumsum_variance >= 0.95) + 1
print(f"为了保留95%的方差,需要的主成分数量: {n_components_to_keep_95_var}")
# 我们测试下降低到10维的效果
n_components_pca = 10
pca_manual = PCA(n_components=n_components_pca, random_state=42)

X_train_pca = pca_manual.fit_transform(X_train_scaled_pca)
X_test_pca = pca_manual.transform(X_test_scaled_pca) # 使用在训练集上fit的pca

print(f"PCA降维后,训练集形状: {X_train_pca.shape}, 测试集形状: {X_test_pca.shape}")
start_time_pca_manual = time.time()
# 步骤 3: 训练随机森林分类器
rf_model_pca = RandomForestClassifier(random_state=42)
rf_model_pca.fit(X_train_pca, y_train)

# 步骤 4: 在测试集上预测
rf_pred_pca_manual = rf_model_pca.predict(X_test_pca)
end_time_pca_manual = time.time()

print(f"手动PCA降维后,训练与预测耗时: {end_time_pca_manual - start_time_pca_manual:.4f} 秒")

print("\n手动 PCA + 随机森林 在测试集上的分类报告:")
print(classification_report(y_test, rf_pred_pca_manual))
print("手动 PCA + 随机森林 在测试集上的混淆矩阵:")
print(confusion_matrix(y_test, rf_pred_pca_manual))

t-分布随机邻域嵌入 (t-SNE)

这是一种与PCA截然不同的降维算法,尤其在理解其核心思想和适用场景上。

t-SNE:保持高维数据的局部邻域结构,用于可视化

PCA 的目标是保留数据的全局方差,而 t-SNE 的核心目标是在高维空间中相似的数据点,在降维后的低维空间中也应该保持相似(即彼此靠近),而不相似的点则应该相距较远。 它特别擅长于将高维数据集投影到二维或三维空间进行可视化,从而揭示数据中的簇结构或流形结构。---深度学习可视化中很热门

t-SNE 与 PCA/SVD 的主要差异:

特性 PCA/SVD t-SNE
类型 线性 非线性
主要目标 保留全局方差 保留局部邻域结构,用于可视化
关注点 全局结构 局部结构,尽可能在低维呈现高维的邻近关系
计算成本 相对较低 较高,尤其是对于大数据集
输出稳定性 确定性(给定数据,结果唯一) 随机性(优化过程通常有随机初始化,多次运行结果可能略有不同)
超参数 ​n_components ​​perplexity​​ (困惑度) , n_iter​ (迭代次数), learning_rate 等
全局结构保留 较好(因为它关注方差) 可能较差,t-SNE 更关注保持局部结构,可能扭曲全局距离
降维后坐标含义 主成分有明确的方差含义 坐标本身没有直接的物理意义,点之间的相对距离和簇的形状更重要
适用场景 通用降维,去噪,数据压缩,线性模型预处理 高维数据可视化,探索数据中的簇或流形结构

何时适合使用 t-SNE?

  • 当你主要目的是可视化高维数据时:t-SNE 在将复杂的高维数据结构展现在2D或3D图上时非常强大,能帮助你直观地看到数据中可能存在的簇或模式。
  • 当数据具有复杂的非线性结构时:如果数据分布在一个弯曲的流形上,t-SNE 比 PCA 更能捕捉到这种结构。
  • 探索性数据分析:帮助发现数据中未知的群体。

使用 t-SNE 时需要注意的事项:

  • 计算成本高:对于非常大的数据集(例如几十万甚至上百万样本),t-SNE 的计算会非常慢。通常建议在应用 t-SNE 之前,先用 PCA 将数据降到一个适中的维度(例如50维),这样可以显著加速 t-SNE 的计算并可能改善结果。

  • 超参数敏感:

    • Perplexity (困惑度) :这个参数对结果影响较大。常见的取值范围是 5 到 50。较小的困惑度关注非常局部的结构,较大的困惑度则考虑更广泛的邻域。通常需要尝试不同的值。
    • n_iter (迭代次数) :需要足够的迭代次数让算法收敛。默认值通常是1000。如果可视化结果看起来还不稳定,可以尝试增加迭代次数。
    • learning_rate (学习率) :也可能影响收敛。
  • 结果的解释:

    • 簇的大小和密度在 t-SNE 图中没有直接意义。t-SNE 会尝试将所有簇展开到相似的密度。不要根据簇在图上的大小来判断原始数据中簇的实际大小或密度。
    • 点之间的距离在全局上没有意义。两个相距较远的簇,它们之间的距离并不代表它们在原始高维空间中的实际距离。t-SNE 主要保留的是局部邻域关系。
    • 多次运行结果可能不同:由于优化过程的随机初始化和梯度下降的性质,多次运行 t-SNE 可能会得到略微不同的可视化结果。但好的簇结构通常是稳定的。
  • 不适合作为通用的有监督学习预处理步骤:因为它的目标是可视化和保持局部结构,而不是最大化类别可分性或保留全局方差,所以它通常不直接用于提高分类器性能的降维。LDA 或 PCA (在某些情况下) 更适合这个目的。

总结一下:

t-SNE 是一种强大的非线性降维技术,主要用于高维数据的可视化。它通过在低维空间中保持高维空间中数据点之间的局部相似性(邻域关系)来工作。与PCA关注全局方差不同,t-SNE 更关注局部细节。理解它的超参数(尤其是困惑度)和结果的正确解读方式非常重要。

from sklearn.manifold import TSNE
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import matplotlib.pyplot as plt

# t-SNE 仅用于探索性可视化;两次独立拟合的坐标系不能用于训练/测试同一分类器。
scaled = StandardScaler().fit_transform(X_train)
embedding = TSNE(n_components=2, perplexity=min(30, len(X_train)-1),
                 max_iter=1000, init='pca', learning_rate='auto', random_state=42).fit_transform(scaled)
plt.scatter(embedding[:, 0], embedding[:, 1], c=y_train, s=8, alpha=0.6)
plt.title('Training-set t-SNE (visualization only)')
plt.show()
# 需要对未见样本变换时,使用前文 PCA/LDA 的 fit(train) + transform(test) 流程。

线性判别分析 (Linear Discriminant Analysis, LDA)

1. 核心定义与目标:
线性判别分析 (LDA) 是一种经典的有监督降维算法,也常直接用作分类器。作为降维技术时,其核心目标是找到一个低维特征子空间(即原始特征的线性组合),使得在该子空间中,不同类别的数据点尽可能地分开(类间距离最大化),而同一类别的数据点尽可能地聚集(类内方差最小化)。

2. 工作原理简述:
LDA 通过最大化“类间散布矩阵”与“类内散布矩阵”之比的某种度量(例如它们的行列式之比)来实现其降维目标。它寻找能够最好地区分已定义类别的投影方向。

3. 关键特性:

  • 有监督性 (Supervised): 这是 LDA 与 PCA 最根本的区别。LDA 在降维过程中必须使用数据的类别标签 (y) 来指导投影方向的选择,目的是优化类别的可分离性。

  • 降维目标维度 (Number of Components): LDA 降维后的维度(即生成的判别特征的数量)有一个严格的上限:​min(n_features, n_classes - 1)​ 。

    • ​n_features:原始特征的数量。
    • ​n_classes​:类别标签 (y) 中不同类别的数量。
    • 这意味着,例如,对于一个二分类问题 (n_classes = 2),LDA 最多能将数据降至 1 维。如果有 5 个类别,最多能降至 4 维(前提是原始特征数不少于4)。这个特性直接源于其优化目标。
  • 线性变换 (Linear Transformation): 与 PCA 类似,LDA 也是一种线性方法。它找到的是原始特征的线性组合来形成新的、具有判别能力的低维特征(称为判别向量或判别成分)。

  • 数据假设 (Assumptions):

    • 理论上,LDA 假设每个类别的数据服从多元高斯分布。
    • 理论上,LDA 假设所有类别具有相同的协方差矩阵。
    • 在实践中,即使这些假设不完全满足,LDA 通常也能表现良好,尤其是在类别大致呈椭球状分布且大小相似时。

4. 输入要求:

  • 特征 (X): 数值型特征。如果存在类别型特征,通常需要先进行预处理(如独热编码)。
  • 标签 (y): 一维的、代表类别身份的数组或 Series (例如 [0, 1, 0, 2, 1]​)。LDA 不需要标签进行独热编码。标签的类别数量直接决定了降维的上限。

5. 与特征 (X) 和标签 (y) 的关系:

  • LDA 的降维过程和结果直接由标签 ​y​​ 中的类别结构驱动。它试图找到最能区分这些由 y 定义的类别的特征组合。
  • 原始特征 X​ 提供了构建这些判别特征的原材料。特征 X​ 的质量和相关性会影响 LDA 的效果,但降维的“方向盘”是由 y 控制的。

6. 优点:

  • 直接优化类别可分性,非常适合作为分类任务的预处理步骤,往往能提升后续分类器的性能。
  • 计算相对高效。
  • 生成的低维特征具有明确的判别意义。

7. 局限性与注意事项:

  • 降维的维度受限于 n_classes - 1,这可能比 PCA 能达到的降维程度低很多,尤其是在类别数较少时。
  • 作为线性方法,可能无法捕捉数据中非线性的类别结构。如果类别边界是非线性的,LDA 效果可能不佳。
  • 对数据的高斯分布和等协方差假设在理论上是存在的,极端偏离这些假设可能影响性能。
  • 如果类别在原始特征空间中本身就高度重叠,LDA 的区分能力也会受限。

8. 适用场景:

  • 当目标是提高后续分类模型的性能时,LDA 是一个强有力的降维工具。
  • 当类别信息已知且被认为是区分数据的主要因素时。
  • 当希望获得具有良好类别区分性的低维表示时,尤其可用于数据可视化(如果能降到2D或3D)。

简而言之,LDA 是一种利用类别标签信息来寻找最佳类别分离投影的降维方法,其降维的潜力直接与类别数量挂钩。


from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
from sklearn.metrics import classification_report, confusion_matrix
import time
import numpy as np
# 假设你已经导入了 matplotlib 和 seaborn 用于绘图 (如果需要)
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D # 如果需要3D绘图
import seaborn as sns



print(f"\n--- 4. LDA 降维 + 随机森林 ---")

# 步骤 1: 特征缩放
scaler_lda = StandardScaler()
X_train_scaled_lda = scaler_lda.fit_transform(X_train)
X_test_scaled_lda = scaler_lda.transform(X_test) # 使用在训练集上fit的scaler

# 步骤 2: LDA 降维
n_features = X_train_scaled_lda.shape[1]
if hasattr(y_train, 'nunique'):
    n_classes = y_train.nunique()
elif isinstance(y_train, np.ndarray):
    n_classes = len(np.unique(y_train))
else:
    n_classes = len(set(y_train))

max_lda_components = min(n_features, n_classes - 1)

# 设置目标降维维度
n_components_lda_target = 10

if max_lda_components < 1:
    print(f"LDA 不适用,因为类别数 ({n_classes})太少,无法产生至少1个判别组件。")
    X_train_lda = X_train_scaled_lda.copy() # 使用缩放后的原始特征
    X_test_lda = X_test_scaled_lda.copy()   # 使用缩放后的原始特征
    actual_n_components_lda = n_features
    print("将使用缩放后的原始特征进行后续操作。")
else:
    # 实际使用的组件数不能超过LDA的上限,也不能超过我们的目标(如果目标更小)
    actual_n_components_lda = min(n_components_lda_target, max_lda_components)
    if actual_n_components_lda < 1: # 这种情况理论上不会发生,因为上面已经检查了 max_lda_components < 1
        print(f"计算得到的实际LDA组件数 ({actual_n_components_lda}) 小于1,LDA不适用。")
        X_train_lda = X_train_scaled_lda.copy()
        X_test_lda = X_test_scaled_lda.copy()
        actual_n_components_lda = n_features
        print("将使用缩放后的原始特征进行后续操作。")
    else:
        print(f"原始特征数: {n_features}, 类别数: {n_classes}")
        print(f"LDA 最多可降至 {max_lda_components} 维。")
        print(f"目标降维维度: {n_components_lda_target} 维。")
        print(f"本次 LDA 将实际降至 {actual_n_components_lda} 维。")

        lda_manual = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=actual_n_components_lda, solver='svd')
        X_train_lda = lda_manual.fit_transform(X_train_scaled_lda, y_train)
        X_test_lda = lda_manual.transform(X_test_scaled_lda)

print(f"LDA降维后,训练集形状: {X_train_lda.shape}, 测试集形状: {X_test_lda.shape}")

start_time_lda_rf = time.time()
# 步骤 3: 训练随机森林分类器
rf_model_lda = RandomForestClassifier(random_state=42)
rf_model_lda.fit(X_train_lda, y_train)

# 步骤 4: 在测试集上预测
rf_pred_lda_manual = rf_model_lda.predict(X_test_lda)
end_time_lda_rf = time.time()

print(f"LDA降维数据上,随机森林训练与预测耗时: {end_time_lda_rf - start_time_lda_rf:.4f} 秒")

print("\n手动 LDA + 随机森林 在测试集上的分类报告:")
print(classification_report(y_test, rf_pred_lda_manual))
print("手动 LDA + 随机森林 在测试集上的混淆矩阵:")
print(confusion_matrix(y_test, rf_pred_lda_manual))